Lezione 5 — Esempi di spazi vettoriali; Sottospazi vettoriali; Combinazioni lineari e indipendenza lineare

Data: 18/03/2026

1. Esempi di spazi vettoriali

1.1 $\mathbb{K}^n$ — lo spazio prototipo

L'insieme $\mathbb{K}^n = \{(x_1,\ldots,x_n) : x_i \in \mathbb{K}\}$ con le operazioni naturali è il modello fondamentale.

$\mathbb{R}^2: \quad u = (1,2),\; v = (3,-1) \implies u+v = (4,1),\; 2u = (2,4)$

1.2 Spazi di polinomi

$\mathbb{K}[x]_{\leq n}$ = polinomi di grado $\leq n$ :

$p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n, \quad a_i \in \mathbb{K}$

Ha dimensione $n+1$ (lo vedremo formalmente). $\mathbb{K}[x]$ (tutti i polinomi) è uno spazio vettoriale di dimensione infinita.

1.3 Spazi di funzioni

$\mathcal{C}([a,b])$ = funzioni continue su $[a,b]$ :

Somma: $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$
Prodotto per scalare: $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$

1.4 Spazi di matrici

$M_{m\times n}(\mathbb{K})$ con somma e moltiplicazione per scalare standard. Ha dimensione $mn$ .

1.5 Esempio: $\mathbb{C}$ su $\mathbb{R}$

$\mathbb{C}$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ con:

Vettori: numeri complessi $a+bi$
Scalari: numeri reali
Somma: la solita somma di complessi
Prodotto: $\lambda(a+bi) = \lambda a + \lambda b\, i$ ($\lambda \in \mathbb{R}$)

2. Sottospazi vettoriali

2.1 Definizione

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$ . Un sottoinsieme $W \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se $W$ è a sua volta uno spazio vettoriale con le stesse operazioni di $V$ .

2.2 Criterio pratico (criterio del sottospazio)

Proposizione. $W \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale se e solo se valgono tutte e tre le condizioni:

$\mathbf{0} \in W$ (contiene il vettore nullo)

$\forall\, u, v \in W:\; u + v \in W$ (chiusura per somma)

$\forall\, \lambda \in \mathbb{K},\; \forall\, u \in W:\; \lambda u \in W$ (chiusura per prodotto per scalare)

Le condizioni (2) e (3) si possono unire in:

$\forall\, u, v \in W,\; \forall\, \lambda, \mu \in \mathbb{K}:\quad \lambda u + \mu v \in W$

Dimostrazione ($\Rightarrow$): ovvia dalla definizione.
Dimostrazione ($\Leftarrow$): gli assiomi di gruppo abeliano ereditati da $V$ sono automaticamente soddisfatti; basta verificare la chiusura. $\square$

2.3 Esempi di sottospazi

Spazio $V$	Sottospazio $W$
$\mathbb{R}^2$	rette per l'origine: $W = \{(x,y): ax+by=0\}$
$\mathbb{R}^3$	piani per l'origine; rette per l'origine
$\mathbb{K}[x]_{\leq n}$	$\mathbb{K}[x]_{\leq k}$ per $k \leq n$
$\mathcal{C}([a,b])$	funzioni derivabili; funzioni con $f(a)=0$
qualsiasi $V$	$\{0\}$ e $V$ stesso (sottospazi banali)

2.4 Controesempio

$W = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0\}$ non è un sottospazio: se $u = (1,0) \in W$ , allora $-u = (-1,0) \notin W$ (fallisce la chiusura per scalari negativi).

2.5 Intersezione di sottospazi

Proposizione. Se $W_1, W_2$ sono sottospazi di $V$ , allora $W_1 \cap W_2$ è un sottospazio di $V$ .

Attenzione: $W_1 \cup W_2$ in generale non è un sottospazio.

3. Combinazioni lineari

3.1 Definizione

Definizione. Siano $v_1, v_2, \ldots, v_k \in V$ e $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ . La combinazione lineare di $v_1, \ldots, v_k$ con coefficienti $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ è il vettore:

$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_k v_k = \sum_{j=1}^k \lambda_j v_j \in V$

3.2 Span lineare (insieme generato)

Definizione. Lo span (o involucro lineare o insieme generato) di $\{v_1, \ldots, v_k\}$ è:

$\operatorname{Span}(v_1,\ldots,v_k) = \left\{\sum_{j=1}^k \lambda_j v_j : \lambda_1,\ldots,\lambda_k \in \mathbb{K}\right\}$

cioè l'insieme di tutte le combinazioni lineari di $v_1,\ldots,v_k$ .

Proposizione. $\operatorname{Span}(v_1,\ldots,v_k)$ è un sottospazio di $V$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^3$ :

$\operatorname{Span}((1,0,0)) = \{(\lambda,0,0):\lambda\in\mathbb{R}\}$ = asse $x$
$\operatorname{Span}((1,0,0),(0,1,0)) = \{(\lambda,\mu,0):\lambda,\mu\in\mathbb{R}\}$ = piano $xy$

4. Indipendenza lineare

4.1 Definizione

Definizione. I vettori $v_1, v_2, \ldots, v_k \in V$ si dicono linearmente indipendenti (l.i.) se l'unica soluzione dell'equazione:

$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_k v_k = \mathbf{0}$

è la soluzione banale $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_k = 0$ .

Se esistono $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ non tutti nulli con $\sum \lambda_j v_j = \mathbf{0}$ , i vettori si dicono linearmente dipendenti (l.d.).

4.2 Interpretazione geometrica

Due vettori in $\mathbb{R}^2$ sono l.d. $\iff$ sono paralleli (uno è multiplo scalare dell'altro).
Tre vettori in $\mathbb{R}^3$ sono l.d. $\iff$ sono complanari (giacciono sullo stesso piano per l'origine).

4.3 Proprietà fondamentali

Un insieme contenente $\mathbf{0}$ è sempre linearmente dipendente.

Un singolo vettore $\{v\}$ è l.i. $\iff$ $v \neq \mathbf{0}$ .

$v_1, \ldots, v_k$ sono l.d. $\iff$ almeno uno di essi è combinazione lineare degli altri.

Ogni sottoinsieme di un insieme l.i. è l.i.

Ogni soprainsieme di un insieme l.d. è l.d.

4.4 Esempi

In $\mathbb{R}^3$ :

$e_1=(1,0,0),\; e_2=(0,1,0),\; e_3=(0,0,1)$ : sono l.i.
$v_1=(1,2,0),\; v_2=(2,4,0)=(2v_1)$ : sono l.d.
$v_1=(1,0,0),\; v_2=(0,1,0),\; v_3=(1,1,0)=v_1+v_2$ : sono l.d.

In $\mathbb{K}[x]_{\leq 2}$ :

$\{1, x, x^2\}$ : l.i.
$\{1+x, 1-x, x\}$ : l.d. (perché $x = \tfrac{1}{2}(1+x) - \tfrac{1}{2}(1-x)$)

Riepilogo

Concetto	Definizione chiave
Sottospazio	$W \subseteq V$ con $\mathbf{0}\in W$ , chiuso per $+$ e $\cdot$
Span	$\operatorname{Span}(v_1,\ldots,v_k)$ = tutte le combinazioni lineari
Comb. lineare	$\sum_{j=1}^k \lambda_j v_j$ con $\lambda_j \in \mathbb{K}$
Indip. lineare	$\sum \lambda_j v_j = \mathbf{0} \implies \lambda_j = 0\ \forall j$
Dipendenza lineare	$\exists$ coefficienti non tutti nulli con $\sum \lambda_j v_j = \mathbf{0}$

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