Lezione 4 — Proprietà delle operazioni; Sistemi lineari; Definizione di Spazio Vettoriale

Data: 13/03/2026

1. Proprietà delle operazioni sugli spazi vettoriali

Prima di formalizzare la definizione, esploriamo le proprietà che vogliamo richiedere.

1.1 Proprietà della somma

Dati $u, v, w \in V$ :

#	Proprietà	Formula
(S1)	Chiusura	$u + v \in V$
(S2)	Commutatività	$u + v = v + u$
(S3)	Associatività	$(u+v)+w = u+(v+w)$
(S4)	Elemento neutro	$\exists\, \mathbf{0} \in V : u + \mathbf{0} = u$ per ogni $u$
(S5)	Opposto	$\forall\, u\in V,\; \exists\, (-u)\in V : u + (-u) = \mathbf{0}$

Le proprietà (S1)–(S5) dicono che $(V, +)$ è un gruppo abeliano.

1.2 Proprietà del prodotto per scalare

Dati $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ e $u, v \in V$ :

#	Proprietà	Formula
(P1)	Chiusura	$\lambda \cdot u \in V$
(P2)	Distributività su $V$	$\lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v$
(P3)	Distributività su $\mathbb{K}$	$(\lambda + \mu)u = \lambda u + \mu u$
(P4)	Compatibilità con prodotto scalare	$(\lambda\mu)u = \lambda(\mu u)$
(P5)	Elemento neutro scalare	$1 \cdot u = u$

2. Introduzione ai sistemi lineari

2.1 Equazione lineare

Un'equazione lineare nelle incognite $x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{K}$ è un'equazione della forma:

$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b$

dove $a_1, \ldots, a_n, b \in \mathbb{K}$ sono dati (coefficienti e termine noto).

2.2 Sistema lineare

Un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite è:

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$

Si scrive compattamente come $Ax = b$ , con:

$A = (a_{ij}) \in M_{m\times n}(\mathbb{K})$ : matrice dei coefficienti
$x = (x_1, \ldots, x_n)^T$ : vettore delle incognite
$b = (b_1, \ldots, b_m)^T$ : vettore dei termini noti

2.3 Matrice aumentata

Si raccoglie l'informazione del sistema nella matrice aumentata $(A \mid b)$ :

$\left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right)$

2.4 Classificazione delle soluzioni

Un sistema lineare può essere:

Compatibile (o consistente): ammette almeno una soluzione
- determinato: esattamente una soluzione
- indeterminato: infinite soluzioni (parametriche)
Incompatibile (o inconsistente): nessuna soluzione

3. Definizione di Spazio Vettoriale

3.1 Definizione assiomatica

Definizione. Sia $\mathbb{K}$ un campo (tipicamente $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ). Uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$ è un insieme non vuoto $V$ dotato di due operazioni:

Somma: $+: V \times V \to V$

Prodotto per scalare: $\cdot: \mathbb{K} \times V \to V$

che soddisfano gli assiomi (S1)–(S5) e (P1)–(P5) elencati sopra.

Gli elementi di $V$ si chiamano vettori, gli elementi di $\mathbb{K}$ si chiamano scalari.

3.2 Unicità di vettore nullo e opposto

Proposizione. In ogni spazio vettoriale $V$ :

Il vettore nullo $\mathbf{0}$ è unico.
Per ogni $v \in V$ , l'opposto $-v$ è unico.

Dimostrazione unicità di $\mathbf{0}$ : Siano $\mathbf{0}$ e $\mathbf{0}'$ due vettori neutri. Allora:
$\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0}' = \mathbf{0}'$

3.3 Proprietà derivate

Teorema. In ogni spazio vettoriale $V$ valgono:

$0 \cdot v = \mathbf{0}$ per ogni $v \in V$ ($0$ è lo scalare zero)

$\lambda \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$ per ogni $\lambda \in \mathbb{K}$

$(-1) \cdot v = -v$ per ogni $v \in V$

$\lambda \cdot v = \mathbf{0} \implies \lambda = 0 \text{ oppure } v = \mathbf{0}$

Dimostrazione di (1): $0 \cdot v = (0+0)\cdot v = 0 \cdot v + 0 \cdot v$ . Sottraendo $0 \cdot v$ da entrambi i lati: $\mathbf{0} = 0 \cdot v$ . $\square$

Dimostrazione di (3): $v + (-1)v = 1\cdot v + (-1)v = (1-1)v = 0 \cdot v = \mathbf{0}$ . Dunque $(-1)v$ è l'opposto di $v$ . $\square$

4. Esempi di spazi vettoriali

Spazio $V$	Campo $\mathbb{K}$	Note
$\mathbb{R}^n$	$\mathbb{R}$	$n$-uple di reali
$\mathbb{C}^n$	$\mathbb{C}$	$n$-uple di complessi
$\mathbb{C}^n$	$\mathbb{R}$	stesso insieme, scalari reali
$M_{m\times n}(\mathbb{K})$	$\mathbb{K}$	matrici
$\mathbb{K}[x]_{\leq n}$	$\mathbb{K}$	polinomi di grado $\leq n$
$\mathbb{K}[x]$	$\mathbb{K}$	tutti i polinomi
$\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$	$\mathbb{R}$	funzioni $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
$\{\mathbf{0}\}$	$\mathbb{K}$	spazio banale (zero)

Riepilogo

Concetto	Descrizione
Spazio vettoriale	Insieme con $+$ e $\cdot$ soddisfacenti 10 assiomi
Vettore nullo	Unico; soddisfa $\mathbf{0} + v = v$
Opposto	Unico; $v + (-v) = \mathbf{0}$ ; coincide con $(-1)v$
Sistema lineare	$m$ equazioni lineari in $n$ incognite: $Ax = b$
Matrice aumentata	$(A\mid b)$ : contiene tutta l'info del sistema

Prossima lezione: Esempi di spazi vettoriali; Sottospazi vettoriali; Combinazioni lineari e indipendenza lineare.