Lezione 4 — Proprietà delle operazioni; Sistemi lineari; Definizione di Spazio Vettoriale

Data: 13/03/2026

1. Proprietà delle operazioni sugli spazi vettoriali

Prima di formalizzare la definizione, esploriamo le proprietà che vogliamo richiedere.

1.1 Proprietà della somma

Dati u,v,w∈Vu, v, w \in V:

# Proprietà Formula
(S1) Chiusura u+v∈Vu + v \in V
(S2) Commutatività u+v=v+uu + v = v + u
(S3) Associatività (u+v)+w=u+(v+w)(u+v)+w = u+(v+w)
(S4) Elemento neutro ∃ 0∈V:u+0=u\exists\, \mathbf{0} \in V : u + \mathbf{0} = u per ogni uu
(S5) Opposto ∀ u∈V,  ∃ (−u)∈V:u+(−u)=0\forall\, u\in V,\; \exists\, (-u)\in V : u + (-u) = \mathbf{0}

Le proprietà (S1)–(S5) dicono che (V,+)(V, +) è un gruppo abeliano.

1.2 Proprietà del prodotto per scalare

Dati λ,μ∈K\lambda, \mu \in \mathbb{K} e u,v∈Vu, v \in V:

# Proprietà Formula
(P1) Chiusura λ⋅u∈V\lambda \cdot u \in V
(P2) Distributività su VV λ(u+v)=λu+λv\lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v
(P3) Distributività su K\mathbb{K} (λ+μ)u=λu+μu(\lambda + \mu)u = \lambda u + \mu u
(P4) Compatibilità con prodotto scalare (λμ)u=λ(μu)(\lambda\mu)u = \lambda(\mu u)
(P5) Elemento neutro scalare 1⋅u=u1 \cdot u = u

2. Introduzione ai sistemi lineari

2.1 Equazione lineare

Un'equazione lineare nelle incognite x1,x2,…,xn∈Kx_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{K} è un'equazione della forma:

a1x1+a2x2+⋯+anxn=ba_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b

dove a1,…,an,b∈Ka_1, \ldots, a_n, b \in \mathbb{K} sono dati (coefficienti e termine noto).

2.2 Sistema lineare

Un sistema lineare di mm equazioni in nn incognite è:

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}

Si scrive compattamente come Ax=bAx = b, con:

2.3 Matrice aumentata

Si raccoglie l'informazione del sistema nella matrice aumentata (A∣b)(A \mid b):

(a11a12⋯a1nb1a21a22⋯a2nb2⋮⋮⋱⋮⋮am1am2⋯amnbm)\left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right)

2.4 Classificazione delle soluzioni

Un sistema lineare può essere:

3. Definizione di Spazio Vettoriale

3.1 Definizione assiomatica

Definizione. Sia K\mathbb{K} un campo (tipicamente R\mathbb{R} o \mathbb{C}$). Uno **spazio vettoriale su $\mathbb{K}$** è un insieme non vuoto $V dotato di due operazioni:

che soddisfano gli assiomi (S1)–(S5) e (P1)–(P5) elencati sopra.

Gli elementi di VV si chiamano vettori, gli elementi di K\mathbb{K} si chiamano scalari.

3.2 Unicità di vettore nullo e opposto

Proposizione. In ogni spazio vettoriale VV:

  1. Il vettore nullo 0\mathbf{0} è unico.
  2. Per ogni v∈Vv \in V, l'opposto −v-v è unico.

Dimostrazione unicità di 0\mathbf{0}: Siano 0\mathbf{0} e 0′\mathbf{0}' due vettori neutri. Allora:
0=0+0′=0′\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0}' = \mathbf{0}'

3.3 Proprietà derivate

Teorema. In ogni spazio vettoriale VV valgono:

  1. 0⋅v=00 \cdot v = \mathbf{0} per ogni v∈Vv \in V ($0$ è lo scalare zero)
  2. λ⋅0=0\lambda \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} per ogni λ∈K\lambda \in \mathbb{K}
  3. (−1)⋅v=−v(-1) \cdot v = -v per ogni v∈Vv \in V
  4. λ⋅v=0  ⟹  λ=0 oppure v=0\lambda \cdot v = \mathbf{0} \implies \lambda = 0 \text{ oppure } v = \mathbf{0}

Dimostrazione di (1): 0⋅v=(0+0)⋅v=0⋅v+0⋅v0 \cdot v = (0+0)\cdot v = 0 \cdot v + 0 \cdot v. Sottraendo 0⋅v0 \cdot v da entrambi i lati: 0=0⋅v\mathbf{0} = 0 \cdot v. □\square

Dimostrazione di (3): v+(−1)v=1⋅v+(−1)v=(1−1)v=0⋅v=0v + (-1)v = 1\cdot v + (-1)v = (1-1)v = 0 \cdot v = \mathbf{0}. Dunque (−1)v(-1)v è l'opposto di vv. □\square

4. Esempi di spazi vettoriali

Spazio VV Campo K\mathbb{K} Note
Rn\mathbb{R}^n R\mathbb{R} $n$-uple di reali
Cn\mathbb{C}^n C\mathbb{C} $n$-uple di complessi
Cn\mathbb{C}^n R\mathbb{R} stesso insieme, scalari reali
Mm×n(K)M_{m\times n}(\mathbb{K}) K\mathbb{K} matrici
K[x]≤n\mathbb{K}[x]_{\leq n} K\mathbb{K} polinomi di grado ≤n\leq n
K[x]\mathbb{K}[x] K\mathbb{K} tutti i polinomi
F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) R\mathbb{R} funzioni f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
{0}\{\mathbf{0}\} K\mathbb{K} spazio banale (zero)

Riepilogo

Concetto Descrizione
Spazio vettoriale Insieme con ++ e ⋅\cdot soddisfacenti 10 assiomi
Vettore nullo Unico; soddisfa 0+v=v\mathbf{0} + v = v
Opposto Unico; v + (-v) = \mathbf{0}$; coincide con $(-1)v
Sistema lineare mm equazioni lineari in nn incognite: Ax=bAx = b
Matrice aumentata (A∣b)(A\mid b): contiene tutta l'info del sistema

Prossima lezione: Esempi di spazi vettoriali; Sottospazi vettoriali; Combinazioni lineari e indipendenza lineare.