Lezione 2 — Forma polare/trigonometrica, Esponenziale complesso, Potenze

Data: 06/03/2026

1. Forma polare (trigonometrica)

Ogni numero complesso $z \neq 0$ può essere rappresentato in forma polare usando il suo modulo $r = |z|$ e l'angolo $\theta$ che il vettore $z$ forma con l'asse reale positivo.

1.1 Argomento di un numero complesso

L'argomento (o anomalia) di $z = a + bi \neq 0$ è l'angolo $\theta \in [0, 2\pi)$ (oppure $(-\pi, \pi]$ a seconda della convenzione) tale che:

$\cos\theta = \frac{a}{|z|}, \qquad \sin\theta = \frac{b}{|z|}$

Si scrive $\theta = \arg(z)$ . L'argomento è determinato a meno di multipli di $2\pi$ :

$\arg(z) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

1.2 Rappresentazione trigonometrica

Dalla definizione di argomento:

$z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

dove $r = |z| \geq 0$ e $\theta = \arg(z)$ .

        Im
         |
     b • - - - - z
         |      /
         |     /  r = |z|
         |    /
         |   /
         |  / θ
 --------+----------→ Re
              a
    a = r cosθ,  b = r sinθ

Casi notevoli:

$z$	$r$	$\theta$
$1$	$1$	$0$
$-1$	$1$	$\pi$
$i$	$1$	$\pi/2$
$-i$	$1$	$3\pi/2$
$1+i$	$\sqrt{2}$	$\pi/4$

1.3 Prodotto in forma polare

Se $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ e $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ , allora:

$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2\bigl[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)\bigr]$

Regola: il prodotto moltiplica i moduli e somma gli argomenti.

2. Esponenziale complesso

2.1 Formula di Eulero

Si definisce l'esponenziale complesso tramite la formula di Eulero:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta, \quad \theta \in \mathbb{R}$

Questa definizione è motivata dall'accordo con lo sviluppo in serie di Taylor di $e^x$ , $\cos x$ e $\sin x$ .

Conseguenze immediate:

$e^{i\pi} + 1 = 0$ (identità di Eulero)
$|e^{i\theta}| = 1$ per ogni $\theta \in \mathbb{R}$
$e^{i\cdot 0} = 1$ , $\quad e^{i\pi/2} = i$ , $\quad e^{i\pi} = -1$ , $\quad e^{i3\pi/2} = -i$

2.2 Forma esponenziale di un numero complesso

Combinando con la forma polare, ogni $z \neq 0$ si scrive:

$\boxed{z = r\,e^{i\theta}, \quad r = |z| > 0, \quad \theta = \arg(z)}$

Proprietà dell'esponenziale complesso:

Proprietà	Formula
Prodotto	$e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}$
Coniugato	$\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$
Inverso	$(e^{i\theta})^{-1} = e^{-i\theta}$
Periodicità	$e^{i(\theta+2\pi)} = e^{i\theta}$

2.3 Formule di Eulero inverse

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

3. Potenze di un numero complesso

3.1 Formula di De Moivre

Per $z = r\,e^{i\theta}$ e $n \in \mathbb{Z}$ :

$z^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$

Dimostrazione (caso $n \geq 0$): per induzione, usando la regola del prodotto in forma polare.

Formula di De Moivre: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

3.2 Esempi

Esempio 1. Calcolare $(1+i)^8$ .

$|1+i| = \sqrt{2}$ , $\arg(1+i) = \pi/4$
$(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot e^{i \cdot 8 \cdot \pi/4} = 2^4 \cdot e^{i2\pi} = 16 \cdot 1 = 16$

Esempio 2. Esprimere $\cos(3\theta)$ in termini di $\cos\theta$ .

Dalla formula di De Moivre con $n=3$ :

$\cos(3\theta) + i\sin(3\theta) = (\cos\theta + i\sin\theta)^3$

Sviluppando con il binomio di Newton e separando parte reale e immaginaria:

$\cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

3.3 Potenze di $i$

$n$	$i^n$
$0$	$1$
$1$	$i$
$2$	$-1$
$3$	$-i$
$4$	$1$
$4k+r$	$i^r$

Le potenze di $i$ sono periodiche di periodo 4.

Riepilogo

Forma	Espressione
Algebrica	$z = a + bi$
Trigonometrica	$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
Esponenziale	$z = r\,e^{i\theta}$
Potenza ($n$-esima)	$z^n = r^n e^{in\theta}$
De Moivre	$(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$

Prossima lezione: Radici $n$-esime di un numero complesso; Introduzione agli spazi vettoriali.