Lezione 1 — Introduzione al corso. Numeri complessi

Data: 04/03/2026

1. Introduzione al corso

Il corso di Algebra Lineare si occupa di studiare strutture algebriche fondamentali — spazi vettoriali, trasformazioni lineari e sistemi di equazioni lineari — con applicazioni in matematica, fisica, ingegneria e informatica.

2. Numeri Complessi

2.1 Motivazione

L'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ non è algebricamente chiuso: esistono equazioni polinomiali a coefficienti reali prive di soluzioni reali. L'esempio più semplice è:

$$x^2 + 1 = 0$$

Non esiste alcun $x \in \mathbb{R}$ tale che $x^2 = -1$. Per ovviare a questa limitazione, si estende $\mathbb{R}$ introducendo un nuovo elemento $i$ tale che:

$$i^2 = -1$$

Questo porta alla costruzione dell'insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$.

Teorema Fondamentale dell'Algebra (anticipazione): ogni polinomio di grado $n \geq 1$ a coefficienti in $\mathbb{C}$ ha esattamente $n$ radici in $\mathbb{C}$ (contate con molteplicità). Dunque $\mathbb{C}$ è algebricamente chiuso.

2.2 Il piano complesso (piano di Gauss/Argand)

Un numero complesso $z \in \mathbb{C}$ è una coppia ordinata di numeri reali $(a, b) \in \mathbb{R}^2$, che si scrive:

$$z = a + bi, \quad a, b \in \mathbb{R}$$

dove:

• $a = \operatorname{Re}(z)$ è la parte reale
• $b = \operatorname{Im}(z)$ è la parte immaginaria
• $i$ è l'unità immaginaria, con $i^2 = -1$

Si rappresenta $z$ come un punto (o vettore) nel piano complesso:

• l'asse orizzontale è l'asse reale
• l'asse verticale è l'asse immaginario

        Im
         |
     b • - - - - z = a + bi
         |      /
         |     /
         |    /  |z|
         |   /
         |  /
         | / θ
 --------+----------→ Re
         |     a

Casi particolari:

2.3 Operazioni di somma e prodotto

Somma

Dati $z_1 = a_1 + b_1 i$ e $z_2 = a_2 + b_2 i$:

$$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$$

La somma si effettua componente per componente, esattamente come la somma di vettori in $\mathbb{R}^2$.

Proprietà della somma:

• Commutatività: $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$
• Associatività: $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$
• Elemento neutro: $z + 0 = z$, con $0 = 0 + 0i$
• Opposto: $z + (-z) = 0$, con $-z = -a - bi$

Prodotto

$$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i$$

Si ottiene distribuendo il prodotto e usando $i^2 = -1$.

Proprietà del prodotto:

• Commutatività: $z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$
• Associatività: $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$
• Elemento neutro: $z \cdot 1 = z$, con $1 = 1 + 0i$
• Distributività: $z_1(z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3$
• Inverso (per $z \neq 0$): esiste $z^{-1}$ tale che $z \cdot z^{-1} = 1$

2.4 Rappresentazione algebrica

Coniugato

Il coniugato di $z = a + bi$ è:

$$\bar{z} = a - bi$$

Geometricamente, $\bar{z}$ è la riflessione di $z$ rispetto all'asse reale.

Proprietà del coniugato:

• $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2$
• $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$
• $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 \in \mathbb{R}_{\geq 0}$
• $z + \bar{z} = 2a = 2\operatorname{Re}(z)$
• $z - \bar{z} = 2bi = 2i\operatorname{Im}(z)$

Modulo

Il modulo di $z = a + bi$ è:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \bar{z}} \geq 0$$

Rappresenta la distanza del punto $z$ dall'origine nel piano complesso.

Proprietà del modulo:

• $|z| = 0 \iff z = 0$
• $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
• $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (disuguaglianza triangolare)

Inverso moltiplicativo

Per $z = a + bi \neq 0$:

$$z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \cdot \bar{z}} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}\,i$$

Divisione

$$\frac{z_1}{z_2} = z_1 \cdot z_2^{-1} = \frac{z_1 \bar{z}_2}{|z_2|^2}$$

Riepilogo

Prossima lezione: Forma polare/trigonometrica, esponenziale complesso, potenze.